Question

1．已知圆F的方程为x²+y²-2x-2y-6=0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆F相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且|$\overrightarrow{MN}$|=2$\sqrt{3}$，试求直线MN的方程；
（3）若满足（2）的圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使得|$\overrightarrow{PA}$|，|$\overrightarrow{PO}$|，|$\overrightarrow{PB}$|成等比数列，试求$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式求出半径r，从而求得圆O的方程．
（2）用点斜式设出MN的方程为y=2x+b，由条件求出圆心O到直线MN的距离，即可得到MN的方程．
（3）由题意可得|PA|•|PB|=|PO|² ，设点P（x，y），代入化简可得x²=y²+9．由点P在圆内可得 x²+y²＜18，可得0≤2y²＜9．化简$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$=2y²-9，从而求$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

解答 解：（1）圆F的方程为x²+y²-2x-2y-6=0，可化为（x-1）²+（y-1）²=8
∵圆F的方程为x²+y²-2x-2y-6=0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆F相切，
∴圆O的半径r=$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$，故圆O的方程为x²+y²=2或x²+y²=18．
（2）∵圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，
∴MN的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数，等于2，
设MN的方程为y=2x+b，即2x-y+b=0．
由弦长公式可得，圆心O到直线MN的距离等于$\sqrt{18-3}$=$\sqrt{15}$，
设直线MN的方程为2x-y+b=0，则$\frac{|b|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{15}$，∴b=±5$\sqrt{3}$，
∴直线MN的方程为2x-y±5$\sqrt{3}$=0；
（3）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂．由x²=18即得A（-3$\sqrt{2}$，0），B（3$\sqrt{2}$，0）．
设P（x，y），
由|$\overrightarrow{PA}$|，|$\overrightarrow{PO}$|，|$\overrightarrow{PB}$|成等比数列，两边平方，可得（x²+y²+18）²-72x²=（x²+y²）²，
化简整理可得，x²-y²=9．
$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$=x²-18+y²=2y²-9．
由于点P在圆O内，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}＜18}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=9}\end{array}\right.$
由此得0≤2y²＜9．
所以$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$的取值范围为[-9，0）．

点评 本题主要考查等比数列的定义和性质，直线和圆的位置关系，两个向量的数量积的定义，属于中档题．