Question

（2012•浦东新区二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥BC．
（1）若BA=BB₁，求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）若BA=BC=BB₁=2，M是棱BC上的一动点．试确定点M的位置，使点M到平面A₁B₁C的距离等于

2

2

．

Answer 1

分析：（1）当BA=BB₁时，AB₁⊥A₁B．由BC⊥BA，BC⊥BB₁，且BA∩BB₁=B，知BC⊥平面ABB₁．由此能证明AB₁⊥平面A₁BC．
（2）建立空间直角坐标系，得C（0，0，2）、B₁（0，2，0）、A₁（2，2，0）、设M（0，0，h）．设平面A₁B₁C的法向量为

n

=(u ， v ， w)，则

n

⊥

CB1

，

n

⊥

A1B1

．得平面A₁B₁C的一个法向量为

n

=(0 ， 1 ， 1)，由此能求出点M到平面A₁B₁C的距离．

解答：（1）证明：当BA=BB₁时，AB₁⊥A₁B．
又∵BC⊥BA，BC⊥BB₁，且BA∩BB₁=B，
∴BC⊥平面ABB₁．
而AB₁?平面ABB₁，∴AB₁⊥BC．
∴由

AB1⊥A1B AB1⊥BC A1B∩BC=B

，
得到AB₁⊥平面A₁BC．
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B₁（0，2，0）、A₁（2，2，0），
设M（0，0，h）．设平面A₁B₁C的法向量为

n

=(u ， v ， w)，
则

n

⊥

CB1

，

n

⊥

A1B1

．
∵

CB1

=（0，2，-2），

A1B1

=(-2 ， 0 ， 0)，
且

n

•

CB1

=0 ， 

n

•

A1B1

=0，
∴

2v-2ω=0 -2μ=0

，∴

ω=v μ=0

，取ω=v=1，
得平面A₁B₁C的一个法向量为

n

=(0 ， 1 ， 1)，
且|

n

|=

2

，又∵

MB1

=(0，2，-h)，
于是点M到平面A₁B₁C的距离d=

| n • MB1 |

| n |

=

|0×0+1×2-h|

2

=

|2-h|

2

=

2

2

⇒h=1，或h=3（舍）
所以，当点M为棱BC的中点时，点M到平面A₁B₁C的距离等于

2

2

．

点评：本题考查点、线、面间的距离的计算，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．