Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，AD∥BC，∠ABC=90°，M是PD的中点，且AD=2AB=2BC=2．
（1）证明：CM∥平面PAB．
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面APB的法向量，利用向量法能证明CM∥平面PAB．
（2）求出平面PBC的法向量和平面APB的法向量，由此利用向量法能求出二面角C-PB-A的余弦值．

解答： （1）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得C（1，1，0），P（0，1，

3

），D（0，2，0），
M（0，

3

2

，

3

2

），A（0，0，0），B（1，0，0），

CM

=（-1，

1

2

，

3

2

），

AB

=（1，0，0），

AP

=（0，1，

3

），
设平面APB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AB =x=0 n • AP =y+ 3 z=0

，取y=

3

，得

n

=（0，

3

，-1），
∵

n

•

CM

=0+

3

2

-

3

2

=0，且CM?平面PAB，
∴CM∥平面PAB．
（2）解：

BP

=（-1，1，

3

），

BC

=（0，1，0），
设平面PBC的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • BP =-a+b+ 3 c=0 m • BC =b=0

，取a=

3

，得

m

=（

3

，0，1），
又平面APB的法向量

n

=（0，

3

，-1），
设二面角C-PB-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

1

2×2

=

1

4

，
∴二面角C-PB-A的余弦值为

1

4

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线面平行、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．