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    如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥EC,且EC=AC=2BD,M是AE的中点.

    求证：（1）DE=AD；

    （2）平面BDM⊥平面ECA.

    思路点拨：（1）要证明DE=AD,只需要证明Rt△DFE≌Rt△ABD;（2）注意点M为EA的中点,可取AC的中点N,先证明点N在平面BDM内，再证明平面BDM经过平面ECA的一条垂线即可.

    证明：（1）取EC的中点F,连结DF.

    ∵EC⊥BC,易知DF∥BC,∴DF⊥EC.

    在Rt△DFE和Rt△ABD中,FE=EC=BD,DF=BC=AB,∴Rt△DFE≌Rt△ABD.故DE=AD.

    （2）取AC的中点N,连结MN、BN,则MN∥EC，MN=EC.

    ∴MN∥BD，即点N在平面BDM内.

    又EC⊥平面ABC，

    ∴EC⊥BN.

    又AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA.

    又∵平面BDM经过BN,

    ∴平面BDM⊥平面ECA.

    ［一通百通］ 有关面面垂直的判定问题，通常情况下可以根据面面垂直的判定定理来考虑，将问题转化为证明线面垂直，从而将问题证明.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:DE=DA.

          

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