Question

甲乙两地相距300千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过a千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P（元）关于速度v（千米/小时）的函数关系是P=

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v．
（1）试将全程运输成本Q（元）表示为速度v的函数；
（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据每小时的运输成本P关于v的解析式，则全程运输成本只需要求出全程用的时间即可，根据时间=

路程

速度

，求出时间，从而求得全程运输成本Q（元）表示为速度v的函数；
（2）根据（1）所求的解析式，求出Q的导数，对a进行分类讨论，利用导数的单调性确定极小值即最小值，从而得到答案．

解答：解：（1）∵时间=

路程

速度

，
∴全程用的时间t=

300

v

小时，
∵该汽车每小时的运输成本P（元）关于速度v（千米/小时）的函数关系是P=

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v，
∴全程运输成本Q=P•t=（

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v）•

300

v

=300（

1

19200

v³-

1

160

v²+15），0＜v≤a，
∴全程运输成本Q（元）表示为速度v的函数为Q=300（

1

19200

v³-

1

160

v²+15），0＜v≤a；
（2）由（1）可知，运输成本Q=300（

1

19200

v³-

1

160

v²+15），0＜v≤a，
∴Q′=(

3

19200

v2-

2

160

v)•300=

3v(v-80)

64

，
令Q′=0，解得v=0（舍去）或v=80，
当0＜v＜80时，Q′＜0，当v＞80时，Q′＞0，
①当a≥80时，Q在（0，80）上单调递减，在（80，a）上单调递增，
∴当v=80时，Q取得极小值即最小值Q（80）=500；
②当a＜80时，Q在（0，a]上单调递减，
∴当v=a时，Q取得最小值Q（a）=

a3

64

-

15a2

8

+4500．
综合①②可得，当a≥80时，为使全程运输成本最少，汽车应以80千米/小时行驶，此时运输成本的最小值为500元，
当a＜80时，为使全程运输成本最少，汽车应以a千米/小时行驶，此时运输成本的最小值为

a3

64

-

15a2

8

+4500元．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，利用导数求闭区间上的最值问题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立数学模型后，应用了导数求解函数的最值，利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．