Question

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都是1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，O为A₁C₁中点，记

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

．
（1）用向量

a

，

b

，

c

表示向量

AO

；
（2）求|

AO

|．

Answer 1

考点：空间向量的夹角与距离求解公式,平面向量的基本定理及其意义

专题：空间向量及应用

分析：（1）由空间向量基本定理和已知条件可得

AO

=

1

2

a

+

1

2

b

+

c

；（2）由（1）的结果平方结合向量的模长公式可得．

解答： 解：（1）∵O为A₁C₁中点，∴

AO

=

1

2

（

AA1

+

AC1

）
=

1

2

（

AA1

+

AC

+

CC1

）=

1

2

（2

AA1

+

AB

+

AD

）
=

1

2

a

+

1

2

b

+

c

；
（2）由（1）

AO

=

1

2

a

+

1

2

b

+

c

，
∴|

AO

|²=

1

4

a

2+

1

4

b

2+

c

2+

1

2

a

•

b

+

a

•

c

+

b

•

c

=

1

4

+

1

4

+1+

1

4

+

1

2

+

1

2

=

11

4

，
∴|

AO

|=

11

2

点评：本题考查空间向量的模长公式，涉及空间向量基本定理，属基础题．