Question

【题目】已知函数f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]D及正实数k，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：
①f（x）=3﹣ 不可能是k型函数；
②若函数f（x）= （a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为 ；
③若函数f（x）=﹣ x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0．
其中正确说法个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】分析：解答：解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣ =1，f（4）=3﹣ =2，
∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，
∴f（x）是 型函数，∴命题错误；
对于②，y= （a≠0）是1型函数，
即（a2+a）x﹣1=a2x2 ， ∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，
∴方程的两根之差x1﹣x2= = ≤ ，
即n﹣m的最大值为 ；∴命题正确；
对于③，y=﹣ x2+x是3型函数，
即﹣ x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，
∴m=﹣4，n=0；∴命题正确；
综上，正确的命题是②③．
故选：C．
【考点精析】关于本题考查的函数的定义域及其求法和函数的值域，需要了解求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能得出正确答案．