Question

3．已知：定义在R上的二次函数f（x）满足：f（1）=f（3），f（x）_min=1，f（0）=5．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求满足f（a）＜2时，实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出对称轴，在由题意设f（x）=a（x-2）²+1，再代入f（0）=5，即可求出．
（2）根据f（a）＜2，得到关于a的不等式，解得即可．

解答 解：（1）由f（1）=f（3），可知f（x）的对称轴为x=$\frac{1+3}{2}$=2，f（x）_min=1，
可设f（x）=a（x-2）²+1，
∵f（0）=5，
∴a（0-2）²+1=5，
解得a=1，
∴f（x）=（x-2）²+1=x²-4x+5，
（2）满足f（a）＜2时，
则a²-4a+5＜2，
即a²-4a+3＜0，
即（a-1）（a-3）＜0，
解得1＜a＜3，
∴实数a的取值范围为（1，3）．

点评 本题考查了二次函数的解析式的求法和不等式的解法，属于基础题．