【题目】给定数列,对,该数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.
(1)设数列为3,4,7,5,2,写出,,,的值;
(2)设是,公比的等比数列,证明:成等比数列;
(3)设,证明:的充分必要条件为是公差为的等差数列.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)可根据题意来逐步代入计算;(2)根据a1>0,公比q>1,可判断出数列{an}是一个单调递增的等比数列,则可逐步代入Ai与Bi的值进行计算,再证明出d1,d2,d3,…dn﹣1成等比数列.(3)先证充分性:因为m>0可得单增,则,可得;再证必要性,先利用反证法说明数列中不存在使,则可说明,,则得,从而证得结论.
(1)由题意,可知:
①当i=1时,A1=3,B1=2,d1=A1﹣B1=3﹣2=1;
②当i=2时,A2=4,B2=2,d2=A2﹣B2=4﹣2=2;
③当i=3时,A3=7,B3=2,d3=A3﹣B3=7﹣2=5;
④当i=4时,A4=7,B4=2,d4=A4﹣B4=7﹣2=5.
(2)由题意,可知:
∵a1>0,公比q>1,
∴数列{an}是一个单调递增的等比数列.
∴①当i=1时,A1=a1,B1=a2,d1=A1﹣B1=a1﹣a2=a1(1﹣q);
②当i=2时,A2=a2,B2=a3,d2=A2﹣B2=a2﹣a3=a1(1﹣q)q;
③当i=3时,A3=a3,B3=a4,d3=A3﹣B3=a3﹣a4=a1(1﹣q)q2;
…
∴对,
.
因此且 ,
∴为首项为a1(1﹣q),公比为q的等比数列.
(3)充分性:若是公差为的等差数列,则,
因为,,,
,.
必要性:若,.
假设是第一个使的项,
则,这与相矛盾,故∴ ,即,故是公差为的等差数列.
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【题目】长方形中, , 是中点(图1).将△沿折起,使得(图2)在图2中:
(1)求证:平面 平面;
(2)在线段上是否存点,使得二面角为大小为,说明理由.
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【题目】某人有楼房一幢,室内总面积为,拟分割成两类房间作为旅游客房,有关的数据如下表:
大房间 | 小房间 | |
每间的面积 | ||
每间装修费 | 元 | 6000元 |
每天每间住人数 | 5人 | 3人 |
每天每人住宿费 | 80元 | 100元 |
如果他只能筹款80000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得的住宿总收入最多?每天获得的住宿总收入最多是多少?
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【题目】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:“某人从距离关口三百七十八里处出发,第一天走得轻快有力,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半,共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________
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【题目】给出下列命题:
(1)直线与线段相交,其中,,则的取值范围是;
(2)点关于直线的对称点为,则的坐标为;
(3)圆上恰有个点到直线的距离为;
(4)直线与抛物线交于,两点,则以为直径的圆恰好与直线相切.
其中正确的命题有_________.(把所有正确的命题的序号都填上)
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,过右焦点作直线交椭圆于,两点,的周长为,点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线、的斜率,,请问是否为定值?若是定值,求出其定值;若不是,说明理由.
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【题目】随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.
(1)已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟。现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?
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【题目】设等差数列的公差d大于0,前n项的和为.已知=18,,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)若对任意的,都有k(+18)≥恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设().若s,t,s>t>1,且,求s,t的值.
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