Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+11}{x+1}$（x∈N^*），且[f（x）]_min=3，则实数a的取值集合是[-$\frac{8}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+11}{x+1}$（x∈N^*），且[f（x）]_min=3，可得x²+ax+11≥3x+3恒成立，分离参数可得a≥-$\frac{8}{x}$-x+3恒成立，求出右边的最小值，即可求出实数a的取值集合．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+11}{x+1}$（x∈N^*），且[f（x）]_min=3，
∴x²+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-8+3x，又x∈N^*，
∴a≥-$\frac{8}{x}$-x+3恒成立，
再令h（x）=x+$\frac{8}{x}$（x∈N^*），
∵h（x）=x+$\frac{8}{x}$在（0，2$\sqrt{2}$]上单调递减，在[2$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增，而x∈N^*，
∴h（x）在x取距离2$\sqrt{2}$较近的整数值时达到最小，而距离2$\sqrt{2}$较近的整数为2和3，
∵h（2）=6，h（3）=$\frac{17}{3}$，h（2）＞h（3），
∴当x∈N^*时，h（x）_min=$\frac{17}{3}$．
∴a≥-$\frac{8}{3}$．
故答案为：[-$\frac{8}{3}$，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数的最小值，正确分离参数是关键．