Question

18．已知函数y=lnx-mx（m∈R）
（1）若函数y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的意义求解斜率，由点斜式得出方程即可；
（2）求出导函数，对参数m进行分类讨论，分别求出闭区间上的最大值．

解答 21、解：（1）因为点P（1，-1）在曲线y=f（x）上，所以-m=-1，解得m=1．
因为f'（x）=$\frac{1}{x}$-1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=-1．----------------（5分）
（2）因为f'（x）=$\frac{1}{x}$-m=$\frac{1-mx}{x}$，
①当m≤0时，在区间[1，e]上，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在[1，e]上单调递增，则最大值为f（e）=1-me；
②当$\frac{1}{m}$≥e，即0＜m≤$\frac{1}{e}$时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在[1，e]上单调递增，则最大值为f（e）=1-me；
③当1＜$\frac{1}{m}$＜e，即$\frac{1}{e}$＜m＜1，
函数f（x）在（1，$\frac{1}{m}$）上单调递增，在（$\frac{1}{m}$，e）上单调递减，则最大值f（$\frac{1}{m}$）=-lnm-1；
④当0＜$\frac{1}{m}$＜e，即m≥1时，f'（x）＜0，
函数f（x）在（1，e）上单调递减，则最大值f（1）=-m．．--------------------（10分）
综上，当m≤$\frac{1}{e}$时，最大值为1=me；当$\frac{1}{e}$＜m＜1时，则最大值-lnm-1；当m≥1时，最大值-m．．--------------------（12分）

点评 考查了导函数的意义和利用导函数求函数闭区间上的最值，难点是对参数的分类讨论．