)设点C为曲线y=(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A,与y轴交于点E、B.
(1)证明:多边形EACB的面积是定值,并求这个定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
(1)见解析;(2)(x-2)2+(y-1)2=5.
【解析】(1)可直接确定点E为原点,所以设圆心C,然后根据半径长度为|OC|,即可写出圆的标准方程 ,然后再求四边形的面积看是否是定值即可。
(2)根据圆的几何性质可知CE所在直线与直线y=-2x+4垂直,所以根据斜率积为-1,即可求出t的值,进而确定圆的方程。
解:(1)证明:设点C (t>0),因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A,与y轴交于点E、B.
所以,点E是直角坐标系原点,即E(0,0).
于是圆C的方程是(x-t)2+2=t2+
.
则A(2t,0),B.
由|CE|=|CA|=|CB|知,圆心C在Rt△AEB的斜边AB上,于是多边形EACB为Rt△AEB,
其面积S=|EA|·|EB|=
×2t×
=4.
所以多边形EACB的面积是定值,这个定值是4.
(2)若|EM|=|EN|,则E在MN的垂直平分线上,即EC是MN的垂直平分线.
因为kEC==
,kMN=-2.
所以由kEC·kMN=-1得t=2.
所以圆C的方程是(x-2)2+(y-1)2=5.
科目:高中数学 来源:2008届宁夏银川一中高三年级第四次月考测试、数学试题(理科) 题型:013
设点P是曲线y=(-1<x<1)上的任意一点,P点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是
A.[]
B.(0,)∪(
,π)
C.[0,]∪[
,π]
D.(,
)
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科目:高中数学 来源:吉林省长春外国语学校2011届高三第一次月考数学试题 题型:013
设点P是曲线y=x3-上的任意一点,P点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是
[0,)∪[
,π)
[0,)∪[
,π)
[,π)
(,
]
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科目:高中数学 来源:宁夏银川一中2010届高三第四次月考、文科数学试卷 题型:044
设点C为曲线y=(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A,与y轴交于点E、B.
(1)证明:多边形EACB的面积是定值,并求这个定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ
|的最小值为 ( )
A.1-ln2 B.(1-ln2)
C.1+ln2 D.(1+ln2)
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