A. | 当x=2时,y有最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | B. | 当x=2时,有最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | ||
C. | 当x=$\sqrt{2}$时,y有最小值2 | D. | 当x=$\sqrt{2}$时,y有最大值2 |
分析 由已知得FE=FP=AD=BC=y,AB=DC=1,FA=DE=DP=x,从而PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$,AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$,BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$,进而得到y2=$\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{4}}}$,由此利用换元法及二次函数性质能求出结果.
解答 解:∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直,
AB=1,FA=x(x>1),AD=y,
∴FE=FP=AD=BC=y,AB=DC=1,FA=DE=DP=x
在Rt△DCP中,PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$,
在Rt△FAP中,AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$,
在Rt△ABP中,BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$,
∵BC=BP+PC=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=y
整理得y2=$\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{4}}}$,令t=$\frac{1}{{x}^{2}}$
则y2=$\frac{1}{-{t}^{2}+t}$,
则当t=$\frac{1}{2}$,即x=$\sqrt{2}$时,y取最小值.
故选:C.
点评 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间位置关系、换元法、二次函数性质的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
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