Question

16．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（　　）

• A． 当x=2时，y有最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． 当x=2时，有最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． 当x=$\sqrt{2}$时，y有最小值2
• D． 当x=$\sqrt{2}$时，y有最大值2

Answer 1

分析 由已知得FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x，从而PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$，BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$，进而得到y²=$\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{4}}}$，由此利用换元法及二次函数性质能求出结果．

解答 解：∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，
AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
在Rt△FAP中，AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$，
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$，
∵BC=BP+PC=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=y
整理得y²=$\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{4}}}$，令t=$\frac{1}{{x}^{2}}$
则y²=$\frac{1}{-{t}^{2}+t}$，
则当t=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$时，y取最小值．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间位置关系、换元法、二次函数性质的合理运用．