Question

【题目】定义域为R的函数f（x）满足：①f（﹣x+2）=f（x+2）；②f（x+1）图象关于点（﹣1，0）对称；③f（﹣2）=2．则f（2）+f（4）+f（6）+f（8）+f（10）+…+f（2018）=（　　）

A. 2 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣2

Answer 1

【答案】D

【解析】

函数y=f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，可得f（x）的图象关于原点对称，即f（﹣x）=﹣f（x），函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（﹣x+2）=f（x+2）成立，所以函数f（x）的周期为8，再由赋值法得到结果即可.

函数y=f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，

可得f（x）的图象关于原点对称，即f（﹣x）=﹣f（x），

函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（﹣x+2）=f（x+2）成立，

∴f（x+4）=f（﹣x）=﹣f（x），

f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），

∴函数f（x）的周期为8，

∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=0，∴f（4）=0，

∵f（﹣2）=2，∴f（﹣2）=﹣f（2）=2，f（2）=﹣2，

f（6）=f（﹣2）=2，f（8）=0，

则f（2）+f（4）+f（6）+f（8）+f（10）+…+f（2018）

=504×（﹣2+0+2+0）+（﹣2）+0=﹣2．

故选：D．