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某人在国庆节那天,上午7时,乘摩托艇以匀速v(4≤v≤20)海里/小时从A港出发到距50海里的B港去,然后乘汽车以速度w(30,≤w≤100)公里/小时自B港向距300公里 的C市驶去,打算在同一天下午16点至晚上21点到达C市.设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x小时,y小时.
(Ⅰ)确定x,y应满足的线性约束条件.
(Ⅱ)如果已知所用的经费P=100+3(5-x)+2(8-y)(元),那么v,w分别是多少时走得最经济?此时需要花费多少元?
分析:(Ⅰ)分析题意,找出相关量之间的不等关系,即x,y满足的约束条件;
(Ⅱ)由约束条件画出可行域,要求走得最经济,即求可行域中的最优解,将目标函数看成是一条直线,分析目标函数Z与直线截距的关系,进而求出最优解.
解答:解:(Ⅰ)依题意得v=
50
y
,w=
300
x
,4≤v≤20,30≤w≤100.
∴3≤x≤10,
5
2
≤y≤
25
2

由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间,即9≤x+y≤14.
∴x,y应满足的线性约束条件为
3≤x≤10
5
2
≤y≤
25
2
9≤x+y≤14

(Ⅱ)线性约束条件为
3≤x≤10
5
2
≤y≤
25
2
9≤x+y≤14
是图中阴影部分(包括边界).
∵p=100+3•(5-x)+2•(8-y),
∴3x+2y=131-p.
设131-p=k,那么当k最大时,p最小.
在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为-
3
2
的直线3x+2y=k中,
使k值最大的直线必通过点(10,4),即当x=10,y=4时,p最小.
此时,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.
点评:本题考查不等式关系的建立,考查线性规划知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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