Question

4．已知圆O经过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）；
（1）求该圆的方程；
（2）求过点D（2，0）的最短弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设圆C的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，则根据圆O经过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2），联立方程组，求得D、E、F的值，可得圆O的方程．
（2）求出直径OD所在直线方程的斜率，根据垂径定理及两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到与直径OD垂直的弦所在直线的斜率，根据求出的斜率及D的坐标写出所求直线的方程即可．

解答 解：（1）设圆C的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，则由圆O经过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2），
可得$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{2+D+E+F=0}\\{20+4D+2E+F=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{D=-8}\\{E=6}\\{F=0}\end{array}\right.$，可得圆O的方程为 x²+y²-8x+6y=0．
（2）圆心O（4，-3），k_OD=$\frac{0+3}{2-4}$=-$\frac{3}{2}$，
∴与OD垂直的弦斜率为$\frac{2}{3}$，即为过D最短弦所在的直线方程的斜率，
则所求直线的方程为y=$\frac{2}{3}$（x-2），即2x-3y-4=0．

点评 本题主要考查用待定系数法求圆的方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．