Question

已知圆x²+y²=8内有一点P₀（-1，2），AB为过点P₀且倾斜角为α的弦，设|AP₀|=m，|BP₀|=n，求m+2n的最小值．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：直线与圆

分析：当AB⊥x轴时，由（-1）²+y²=8，解得y=±

7

，即可得出m+2n．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的参数方程为

x=-1+tcosα y=2+tsinα

，代入圆的方程可得：t²+（4sinα-2cosα）t-3=0．解得t=（cosα-2sinα）±

3sin2α-4sinαcosα+4

．不妨设t₁＞0，t₂＜0．t₁-2t₂=3

3sin2α-4sinαcosα+4

-（cosα-2sinα），2t₁-t₂=3

3sin2α-4sinαcosα+4

+（cosα-2sinα），而3

3sin2α-4sinαcosα+4

=3

11 2 - 5 2 sin(2α+θ)

≥3

3

，tanθ=

3

4

．当等号成立时，可得tanα=

1

2

或-2．代入计算比较即可．

解答： 解：①当AB⊥x轴时，由（-1）²+y²=8，解得y=±

7

，
取A(-1，

7

)，B(-1，-

7

)，则m+2n=

7

-2+2(2+

7

)=3

7

+2．
取B(-1，

7

)，A(-1，-

7

)，则m+2n=2（

7

-2）+(2+

7

)=3

7

-2．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的参数方程为

x=-1+tcosα y=2+tsinα

，
代入圆的方程可得：（-1+tcosα）²+（2+tsinα）²=8，
化为t²+（4sinα-2cosα）t-3=0．
∴t=（cosα-2sinα）±

3sin2α-4sinαcosα+4

．
t₁+t₂=2cosα-4sinα，t₁t₂=-3．
不妨设t₁＞0，t₂＜0．
t₁=（cosα-2sinα）+

3sin2α-4sinαcosα+4

，
t₂=cosα-2sinα-

3sin2α-4sinαcosα+4

∴t₁-2t₂=3

3sin2α-4sinαcosα+4

-（cosα-2sinα），
2t₁-t₂=3

3sin2α-4sinαcosα+4

+（cosα-2sinα），
而3

3sin2α-4sinαcosα+4

=3

11 2 - 5 2 sin(2α+θ)

≥3

3

，tanθ=

3

4

．
此时tan(

π

2

-2α)=

3

4

，∴

cos2α

sin2α

=

3

4

，
化为tanα=

1

2

或-2．
取tanα=

1

2

时，sinα=

1

5

，cosα=

2

5

，此时可知：t₁-2t₂取得最小值3

3

．
取tanα=-2时，sinα=

2

5

，cosα=-

1

5

．此时可知：2t₁-t₂取得最小值为3

3

-

5

．
综上可得：当tanα=-2时，sinα=

2

5

，cosα=-

1

5

．m+2n=2t₁-t₂取得最小值为3

3

-

5

．

点评：本题考查了直线与圆相交弦长问题、直线的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．