Question

【题目】记设，则（ ）

A. 存在

B. 存在

C. 存在

D. 存在

Answer 1

【答案】C

【解析】

求出f（x）的解析式，对t的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧函数的单调性和值域，从而得出答案．

解：x2﹣x3＝x2（1﹣x），

∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，

∴f（x）．

若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|＝|t2+（﹣t）3|＝|t2﹣t3|＝t3﹣t2，

|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t2+t3|＝t2+t3，

f（t）﹣f（﹣t）＝t2﹣（﹣t）3＝t2+t3，

若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|＝|t3+（﹣t）3|＝0，

|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t3+t3|＝2t3，

f（t）﹣f（﹣t）＝t3﹣（﹣t）3＝2t3，

当t＝1时，|f（t）+f（﹣t）|＝|1+（﹣1）|＝0，

|f（t）﹣f（﹣t）|＝|1﹣（﹣1）|＝2，

f（t）﹣f（﹣t）＝1﹣（﹣1）＝2，

∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|＝f（t）﹣f（﹣t），

故A错误，B错误；

当t＞0时，令g（t）＝f（1+t）+f（1﹣t）＝（1+t）2+（1﹣t）3＝﹣t3+4t2﹣t+2，

则g′（t）＝﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）＝0得﹣3t2+8t﹣1＝0，

∴△＝64﹣12＝52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，

∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，

∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，

∴|g（t0）|＞g（t0），

故C正确；

令h（t）＝（1+t）﹣f（1﹣t）＝（1+t）2﹣（1﹣t）3＝t3﹣2t2+5t，

则h′（t）＝3t2﹣4t+5＝3（t）20，

∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）＝0，

∴|h（t）|＝h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＝f（1+t）﹣f（1﹣t），

故D错误．

故选：C．