Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．

（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q﹣BP﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD．

由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD为平面PDAQ内

两条相交直线，

∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ= PD，

∴PQ2+DQ2=PD2．

由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．

又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，

∴PQ⊥平面DCQ．

再由PQ平面PQC，可得平面PQC⊥平面DCQ

（2）

解：

如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，

射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；

依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），B（1，0，1），

=（1，0，0）， =（﹣1，2，﹣1）．

设 =（x，y，z）是平面的PBC法向量，则 ，即 ，

可取 =（ 0，﹣1，﹣2）．

同理求得平面PBQ的法向量 =（1，1，1）．

所以cos＜ ， ＞= = =﹣ ，故有 sin＜ ， ＞= ，

即二面角Q﹣BP﹣C的正弦值为 ．

【解析】（1）先证明CD⊥平面PDAQ，可得CD⊥PQ；再由勾股定理得逆定理证得PQ⊥QD．再利用直线和平面垂直的判定定理证得PQ⊥平面DCQ，从而证得平面PQC⊥平面DCQ．（2）如图建立空间坐标系，求得 和 的坐标，再求得平面的PBC法向量 的坐标，同理求得平面PBQ的法向量 的坐标，求得cos＜ ， ＞= 的值，从而求得sin＜ ， ＞的值，即为所求．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．