Question

函数f（x）定义在区间[a，b]上，设“min{f（x）|x∈D}”表示函数f（x）在集合D上的最小值，“max{f（x）|x∈D}”表示函数f（x）在集合D上的最大值．现设f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），
若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为区间[a，b]上的“第k类压缩函数”．
（Ⅰ） 若函数f（x）=x³-3x²，x∈[0，3]，求f（x）的最大值，写出f₁（x），f₂（x）的解析式；
（Ⅱ） 若m＞0，函数f（x）=x³-mx²是[0，m]上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出导函数，令导函数大于0求出x的范围即为递增区间；令导函数小于0求出x的范围即为递减区间，利用f₁（x），f₂（x）的定义，求出它们的解析式．
（II）求出函数f（x）=x³-mx²的导函数，通过导数判断出其单调性，得到f₁（x），f₂（x）的解析式，根据“第3类压缩函数”的定义列出不等式，求出m的范围．

解答：解：（Ⅰ）由于f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=3x²-6x＞0得2＜x＜3；f'（x）=3x²-6x＜0得0＜x＜2
故f（x）在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增．
所以，f（x）的最大值为max{f（0），f（3）}=0．…（3分）
f1(x)=

x3-3x2，0≤x≤2 -4          2＜x≤3

，…（6分）
f₂（x）=0，…（9分）
（Ⅱ）由于f'（x）=3x²-2mx，
故f（x）在[0，

2m

3

]上单调递减，在[

2m

3

，m]上单调递增，
而f（0）=f（m）=0，f(

2m

3

)=-

4m3

27

，
故f1(x)=

x3-mx2，0≤x≤ 2m 3 - 4m3 27      2m 3 ＜x≤3

，f₂（x）=0，
f2(x)-f1(x)=

mx2-x3，0≤x≤ 2m 3 4m3 27        2m 3 ＜x≤3

．…（11分）
设对正整数k有f₂（x）-f₁（x）≤kx对x∈[0，m]恒成立，
当x=0时，k∈N^*均成立；
当0＜x≤

2m

3

时，k≥

f2(x)-f1(x)

x

恒成立，
而

f2(x)-f1(x)

x

=-x2+mx=-(x-

m

2

)2+

m2

4

≤

m2

4

，
故k≥

m2

4

；
当

2m

3

＜x≤m时，k≥

f2(x)-f1(x)

x

恒成立，
而

f2(x)-f1(x)

x

=

4m3 27

x

=

4m3

27x

＜

2m2

9

；
故k≥

2m2

9

；
所以，k≥

m2

4

，
又f（x）是[0，m]上的“第3类压缩函数”，
故2＜

m2

4

≤3，
所以，2

2

＜m≤2

3

．…（14分）

点评：本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力．要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题．