【题目】已知函数(为常数)与轴有唯一的公关点.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)曲线在点处的切线斜率为,若存在不相等的正实数,满足,证明: .
【答案】(Ⅰ)当时,函数的递增区间为,递减区间为;
当时,函数的递增区间为,无递减区间.(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)因为函数的定义域为,且,故由题意可知曲线与轴存在公共点,又,对a进行讨论分, 四种情况进行可得解(Ⅱ)容易知道函数在处的切线斜率为,得,由(Ⅰ)可知,且函数在区间上递增.不妨设,因为,则,则有,整理得,利用基本不等式构建关于不等关系即可证得.
试题解析:
(Ⅰ)因为函数的定义域为,且,
故由题意可知曲线与轴存在公共点,又,则有
当时, ,函数在定义域上递增,满足条件;
当时,函数在上递减,在上递增,
①若时,则,取,则,
故由零点存在定理可知,函数在上还有一个零点,因此不符合题意;
②若,则函数的极小值为,符合题意;
③若,则由函数的单调性,有,取,有.下面研究函数
, ,因为恒成立,故函数在上递增,故,故成立,函数在区间上存在零点.
不符合题意.
综上所述:
当时,函数的递增区间为,递减区间为;
当时,函数的递增区间为,无递减区间.
(Ⅱ)容易知道函数在处的切线斜率为,得,
由(Ⅰ)可知,且函数在区间上递增.
不妨设,因为,则,
则有,整理得,
由基本不等式得,故,整理得,即.
由函数在上单调递增,所以,即.
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【题目】随着医院对看病挂号的改革,网上预约成为了当前最热门的就诊方式,这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题;某医院研究人员对其所在地区年龄在10~60岁间的位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查,并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图,如下图所示.
(Ⅰ)若被调查的人员年龄在20~30岁间的市民有300人,求被调查人员的年龄在40岁以上(含40岁)的市民人数;
(Ⅱ)若按分层抽样的方法从年龄在以内及以内的市民中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行调研,求抽取的2人中,至多1人年龄在内的概率.
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【题目】设f(x)=ln x,g(x)=x|x|.
(1)求g(x)在x=-1处的切线方程;
(2)令F(x)=x·f(x)-g(x),求F(x)的单调区间;
(3)若任意x1,x2∈[1,+∞)且x1>x2,都有m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】“双十一”期间,某淘宝店主对其商品的上架时间(分钟)和销售量(件)的关系作了统计,得到如下数据:
经计算: , , , .
(1)从满足的数据中任取两个,求所得两个数据都满足的概率;
(2)该店主通过作散点图,发现上架时间与销售量线性相关,请你帮助店主求出上架时间与销售量的线性回归方程(保留三位小数),并预测商品上架1000分钟时的销售量.
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【题目】已知一个动圆与两个定圆和均相切,其圆心的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程;
(2) 过点F()做两条可相垂直的直线,设与曲线C交于A,B两点, 与曲线 C交于C,D两点,线段AC,BD分别与直线交于M,M,N两点。求证|MF|:|NF|为定值.
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【题目】已知抛物线T的焦点为F,准线为l,过F的直线m与T交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,M为AB的中点,若m与l不平行,则△CMD是( )
A. 等腰三角形且为锐角三角形
B. 等腰三角形且为钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 非等腰的直角三角形
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