分析 (1)根据题意和等差中项的性质建立等式关系,由条件和等比数列的通项公式求出公比q,即可求出an;
(2)由(1)和对数的运算求出bn,并化简$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$,并利用裂项求和法求出Tn,再分离出λ并利用基本不等式求出式子的最大值,再求出实数λ的最小值.
解答 解:(1)∵S3,S4,S2成等差数列,
∴2S4=S3+S2,则2(a1+a2+a3+a4)=(a1+a2+a3)+(a1+a2),
化简可得,a3=-2a4,解得公比q=$-\frac{1}{2}$,
∵a1=$\frac{1}{4}$,∴an=a1qn-1=$\frac{1}{4}•(-\frac{1}{2})^{n-1}$;
(2)由(1)得,bn=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|an|=log${\;}_{\frac{1}{2}}$${(\frac{1}{2})}^{n+1}$=n+1,
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,
则Tn=($\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$)+…+($\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$)
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2(n+2)}$,
代入Tn≤λbn+1得,λ≥$\frac{{T}_{n}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{n}{2(n+2)}$×$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2(n+2)^{2}}$
=$\frac{1}{2}•\frac{n}{{n}^{2}+4n+4}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+4}$,
∵$n+\frac{4}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$=4(当且仅当$n=\frac{4}{n}$时取等号),
∴$\frac{1}{2}•\frac{1}{n+\frac{4}{n}+4}≤\frac{1}{2}•\frac{1}{4+4}$=$\frac{1}{16}$,
∴实数λ的最小值是$\frac{1}{16}$.
点评 本题考查等差中项的性质,等比数列的通项公式,基本不等式求最值问题,以及裂项相消法求数列的和,恒成立问题的转化,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{13}{7}$ | B. | $\frac{15}{8}$ | C. | $\frac{23}{12}$ | D. | $\frac{25}{13}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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