Question

17．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{4}$的等比数列，其前n项和S_n中，S₃，S₄，S₂成等差数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|a_n|，记数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，若T_n≤λb_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意和等差中项的性质建立等式关系，由条件和等比数列的通项公式求出公比q，即可求出a_n；
（2）由（1）和对数的运算求出b_n，并化简$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，并利用裂项求和法求出T_n，再分离出λ并利用基本不等式求出式子的最大值，再求出实数λ的最小值．

解答 解：（1）∵S₃，S₄，S₂成等差数列，
∴2S₄=S₃+S₂，则2（a₁+a₂+a₃+a₄）=（a₁+a₂+a₃）+（a₁+a₂），
化简可得，a₃=-2a₄，解得公比q=$-\frac{1}{2}$，
∵a₁=$\frac{1}{4}$，∴a_n=a₁q^n-1=$\frac{1}{4}•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）由（1）得，b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|a_n|=log${\;}_{\frac{1}{2}}$${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$=n+1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
则T_n=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$，
代入T_n≤λb_n+1得，λ≥$\frac{{T}_{n}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{n}{2（n+2）}$×$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）^{2}}$
=$\frac{1}{2}•\frac{n}{{n}^{2}+4n+4}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+4}$，
∵$n+\frac{4}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$=4（当且仅当$n=\frac{4}{n}$时取等号），
∴$\frac{1}{2}•\frac{1}{n+\frac{4}{n}+4}≤\frac{1}{2}•\frac{1}{4+4}$=$\frac{1}{16}$，
∴实数λ的最小值是$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查等差中项的性质，等比数列的通项公式，基本不等式求最值问题，以及裂项相消法求数列的和，恒成立问题的转化，属于中档题．