Question

设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n为前n项和，满足a₃，2a₅，a₁₂ 成等差数列，S₁₀=60．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）试求所有正整数m，使

am+12+2

am

为数列{a_n}中的项．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式和等差数列的性质，先求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）利用数列{a_n}的通项公式对

am+12+2

am

进行化简整理，再由

am+12+2

am

为数列{a_n}中的项进行分析求解，利用列举法能求出所有正整数m．

解答：解：（1）设数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
则a3+a12=a1+2d+a 1+11d=2a₁+13d，（2分）
2a₅=2（a₁+4d）=2a₁+8d，
∵a₃，2a₅，a₁₂ 成等差数列，
∴a₃+a₁₂=2×2a₅，
∴2a₁+13d=2（2a₁+8d），
整理，得2a₁+3d=0，（4分）
∵S₁₀=60，∴S10=10a1+

10×9

2

d=10a₁+45d=60，
解得a₁=-3，d=2，
∴a_n=2n-5，
Sn=n×(-3)+

n(n-1)

2

×2=n2-4n．（7分）
（2）∵a_n=2n-5，
∴

am+12

a   m

=

(2m-3)2+2

2m-5

=

[(2m-5)+2]2+2

2m-5

=

(2m-5)2+4(2m-5)+6

2m-5

=2m-5+4+

6

2m-5

=2m-1+

6

2m-5

，（10分）
要使

am+12+2

am

为数列{a_n}中的项，则

6

2m-5

为整数．
m=1，2m-1+

6

2m-5

=-5是第二项，
m=2，2m-1+

6

2m-5

=-3=2×1-5是第一项，
m=3，2m-1+

6

2m-5

=11=2×8-5是第八项
m=4，2m-1+

6

2m-5

=2×7-5是第七项
所有的正整数m为1，2，3，4．（14分）

点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等差中项等知识点的应用，解题时要注意合理地进行化简整理，注意列举法的合理运用．