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18.设Sn是数列{an}的前n项和,an=(-1)n(2n-1).
(1)求S1,S2,S3
(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.

分析 (1)将n分别取1,2,3,求S1,S2,S3
(2)关键(1)中规律猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.

解答 解:(1)S1=a1=-1,S2=a1+a2=-1+3=2,S3=a1+a2+a3=-1+3-5=-3 …(3分)
(2)猜想${S}_{n}=(-1)^{n}n$,(n∈N+)…(5分)
证明:①n=1时,左边S1=-1,右边(-1)1×1=-1,猜想成立…(6分)
②假设当n=k(k∈N+)时猜想成立,即Sk=(-1)kk…(7分)
Sk+1=Sk+ak+1=(-1)kk+(-′1)k+1[2(k+1)-1]…(8分)
=(-1)k+1[(2k+1)-k]=(-1)k+1(k+1)…(10分)
所以,当n=k+1时猜想也成立…(11分)
由①②可知,猜想对任何n∈N+都成立…(12分)

点评 本题考查了数学归纳法;关键是利用假设推导n=k+1时猜测成立.

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