Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝.
 
(1)证明：PC⊥BD；
(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接PO.
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.
由PB＝PD知，PO⊥BD.
又因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面APC.
又PC?平面APC，因此BD⊥PC.

(2)因为E是PA的中点，
所以V_{三棱锥P－BCE}＝V_{三棱锥C－PEB}＝ V_{三棱锥C－PAB}＝ V_{三棱锥B－APC}.
由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.
因为∠BAD＝60°，
所以PO＝AO＝，AC＝2 ，BO＝1.
又PA＝，所以PO²＋AO²＝PA²，所以PO⊥AC，
故S_△APC＝ PO·AC＝3.
由(1)知，BO⊥平面APC，
因此V_{三棱锥P－BCE}＝ V_{三棱锥B－APC}＝··BO·S_△APC＝.