Question

设点P为曲线y=x³+

3

x+2上任意一点，求该曲线在点P处的切线的倾斜角θ的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的几何意义

专题：导数的综合应用

分析：利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用正切函数的单调性即可求出倾斜角的取值范围．

解答： 解：设切点P（x₀，y₀），过此点的切线的倾斜角为α．
∵f′（x）=3x²+

3

，∴f′（x₀）=3x₀²+

3

≥

3

，（x₀∈R）．
∴tanα≥

3

，
∵0≤α＜π，∴α∈[

π

3

，

π

2

)．
曲线在点P处的切线的倾斜角θ的取值范围：[

π

3

，

π

2

)．

点评：熟练掌握导数的几何意义函数的最值，以及正切函数的单调性是解题的关键．