Question

9．已知正四面体的各棱长都为$\sqrt{2}$，四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为3π．

Answer 1

分析 把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可得到答案．

解答 解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为：$\sqrt{3}$
棱长都为$\sqrt{2}$的四面体的四个顶点在同一球面上，则正方体的八个顶点也在同一球面上，正方体的对角线就是球的直径．
则球的半径R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴球的表面积为3π，
故答案为：3π．

点评 本题考查球的体积，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．