Question

【题目】若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与不重合），，.给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得.其中正确结论的序号是_______.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，利用向量法验证各个结论，即可得到结果.

过作，垂足为；过作，交于；连接，交于，如下图所示：

平面，平面，，

又，平面，，平面，

，平面，平面，，

即为；

四边形为正方形，，

平面，平面，，

又平面，，平面，

，即为.

以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，，

对于①，，，，

，①正确；

对于②，平面，平面的一个法向量，

又，令，即，

解得：，存在点，使得平面，②正确；

对于③，，，

令，方程无解，

不存在点，使得，③错误.

故答案为：①②.