Question

【题目】在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）在上述△ABC中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆半径的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据正弦定理，原式可变形为：c（cosA+cosB）=a+b①，

∵根据任意三角形射影定理得：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，

∴a+b=c（cosA+cosB）+cosC（a+b）②，

由于a+b≠0，故由①式、②式得：cosC=0，

∴在△ABC中，∠C=90°，

则△ABC为直角三角形；

（2）解：∵c=1，sinC=1，∴由正弦定理得：外接圆半径R= = ，

∴ = = =2R=1，即a=sinA，b=sinB，

∵sin（A+ ）≤1，

∴内切圆半径r= （a+b﹣c）= （sinA+sinB﹣1）= （sinA+sinB）﹣ = sin（A+ ）﹣ ≤ ，

∴内切圆半径的取值范围是（0， ]．

【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简得到关系式c（cosA+cosB）=a+b，再利用三角形射影定理得到a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，表示出a+b，联立两式求出cosC的值为0，确定出C的度数为90°，即可对于三角形ABC形状为直角三角形；（2）由c及sinC的值，利用正弦定理求出外接圆的半径R，表示出a与b，根据内切圆半径r= （a+b﹣c），将a与b代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据正弦 函数的值域即可确定出r的范围．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正确解答此题．