Question

已知P是双曲线的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为；③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；④若直线PF₁的斜率为k，则e²-k²＞1，其中正确命题的序号是________．

Answer 1

①③④
分析：求出准线被它的两条渐近线所截得的线段的端点的纵坐标，即可得到此准线被它的两条渐近线所截得的线段
长度为，故①正确．
由双曲线的定义可得 2a-|PF₂|=e|PF₂|，根据|PF₂|=≥c-a，求得 ≤，故②不正确．
由双曲线的定义及圆的切线性质可得|KF₁|=a+c，故△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确．
由题意可得k＜，故e²-k²＞1，故④正确．
解答：对于①，一准线方程为x=，它的两条渐近线方程为 y=±x，
故准线被它的两条渐近线所截得的线段的端点的纵坐标分别为 =±，
故此线段的长度为，故①正确．
对于②，若|PF₁|=e|PF₂|，则由双曲线的定义可得 2a-|PF₂|=e|PF₂|，
∴|PF₂|==≥c-a，∴3a²≥c²，∴≤，即离心率的最大值为，故②不正确．
对于③，设△PF₁F₂的内切圆与PF₁和PF₂的切点分别为M，N，与x轴的切点为K，
由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF₁|-|NF₂|=2a=|KF₁|-|KF₂|，
又|KF₁|+|KF₂|=2c，∴|KF₁|=a+c，故K为双曲线的右顶点，又△PF₁F₂的内切圆的圆心
在切点K 的正上方，故△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确．
对于④若直线PF₁的斜率为k，则由题意可得k＜，∴k²＜，∴e²-k²＞1，故④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟练掌握双曲线的性质，是解题的关键．