Question

8．已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为（-1，2），点C在第二象限，$\overrightarrow{AB}=（{2，2}），且\overrightarrow{AB}与\overrightarrow{AC}$的夹角为$\frac{π}{4}，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2．
（I）求点D的坐标；
（II）当m为何值时，$\overrightarrow{AC}+m\overrightarrow{AB}与\overrightarrow{BC}$垂直．

Answer 1

分析 （I）设C（x，y），D（m，n）．$\overrightarrow{AC}$=（x+1，y-2），利用向量夹角公式可得（x+1）²+（y-2）²=1．①又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2（x+1）+2（y-2）=2，联立解出C坐标．又$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$，可得（m+1，n-3）=（-2，2），解得m，n．
（II）由（I）可知：$\overrightarrow{AC}$=（0，1），由于$\overrightarrow{AC}+m\overrightarrow{AB}与\overrightarrow{BC}$垂直．可得（$\overrightarrow{AC}+m\overrightarrow{AB}）$$•\overrightarrow{BC}$=0，解出即可．

解答 解：（I）设C（x，y），D（m，n）．$\overrightarrow{AC}$=（x+1，y-2），
∵$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$\frac{π}{4}，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2．
∴$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}\sqrt{（x+1）^{2}+（y-2）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为（x+1）²+（y-2）²=1．①
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2（x+1）+2（y-2）=2，化为x+y=2．②
联立①②解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$．
又点C在第二象限，∴C（-1，3）．
又$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$，
∴（m+1，n-3）=（-2，2），解得m=-3，n=1．
∴D（-3，1）．
（II）由（I）可知：$\overrightarrow{AC}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{AC}+m\overrightarrow{AB}$=（2m，2m+1），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=（-2，-1）．
∵$\overrightarrow{AC}+m\overrightarrow{AB}与\overrightarrow{BC}$垂直．
∴（$\overrightarrow{AC}+m\overrightarrow{AB}）$$•\overrightarrow{BC}$=-4m-（2m+1）=0，解得m=$-\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．