Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2

2

，AD=

2

，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BDE；
（Ⅱ） 求CD与平面ADE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）根据翻折问题，在翻折前后在同一个平面上的位置关系及度量关系不变得到BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE且交线为AE
根据平面垂直的性质定理得到BE⊥AD，再根据直线与平面垂直的判断定理得证．
（II）在平面ABCE内作CF⊥平面ADE交直线AE于F，连DF，根据平面垂直的性质定理得到CF⊥平面ADE，根据直线与平面所成角的定义得到∠CDF就是CD与平面ADE所成的角，通过解三角形求出CD与平面ADE所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ） 由题知：BE⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE且交线为AE
∴BE⊥平面ADE
∴BE⊥AD
又∵AD⊥DE，且DE∩BE=E
∴AD⊥平面BDE
（Ⅱ）在平面ABCE内作CF⊥平面ADE交直线AE于F，连DF，
∵平面ADE⊥平面ABCE且交线为AE
∴CF⊥平面ADE
∴∠CDF就是CD与平面ADE所成的角
由题易求CF=1，DF=5，则
tan∠CDF=

1

5

点评：求线面角的大小，一般先作出线面角．此题是利用线面角的定义作出，通过解三角形求出值．其解题过程为：简记为“作、证、算”．解决翻折问题，一般先根据在翻折前后仍在同一个平面上的位置关系及度量关系不变得到空间图形的已知条件．