Question

（2009•金山区二模）等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，公差为2，在等比数列{b_n}中，当n≥2时，b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p（p为常数），
（1）求a_n和S_n；
（2）求b₁，p和b_n；
（3）若T_n=

Sn

bn

对于一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，求C的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的性质，以及数列的通项公式和求和公式，可求出所求；
（2）根据b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p得到b₂+b₃+…+b_n+b_n+1=2ⁿ⁺¹+p，将两式相减可求出数列{b_n}的通项公式以及b₁，p；
（3）若T_n=

Sn

bn

对于一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，则需C大于或等于T_n的最大值，然后研究T_n的单调性可求出最大值，从而求出所求．

解答：解：（1）因为等差数列数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，d=2
a_n=2n，（n∈N*）；S_n=n²+n；…（2分）
（2）由于当n≥2时，b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p（p为常数），
b₂+b₃+…+b_n+b_n+1=2ⁿ⁺¹+p
两式相减得：b_n+1=2ⁿ，…（4分）
因为数列{b_n}为等比数列，所以b₁=1，b₂=2，
由条件可得p=-2，b_n=2^n-1，（n∈N*）；…（7分）
（3）因为T_n=

n2+n

2n-1

，若T_n=

Sn

bn

对于一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，
则需C大于或等于T_n的最大值，…（8分）

Tn+1

Tn

=

(n+1)(n+2)

2n

×

2n-1

n(n+1)

=

n+2

2n

，…（10分）
令

Tn+1

Tn

≥1得：n≤2，
即有：T₁=2≤T₂=3=T₃=3≥T₄=

5

2

≥T₅=

15

8

≥…≥T_n≥…，…（12分）
即数列{T_n}是先增后减的数列，且T_n的极限是0，
故有T_n的最大值为T₂=T₃=3，…（14分）
又对于一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，∴C≥3，即C的最小值为3．…（16分）

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，以及恒成立问题的应用，属于中档题．