Question

在三棱柱ABC-A′B′C′中，侧面CBB′C′⊥底面ABC，∠B′BC=60°，
∠ACB=90°，且CB=CC′=CA．
（1）求证：平面AB′C⊥平面A′C′B；
（2）求异面直线A′B与AC′所成的角．

Answer 1

分析：（1）由已知中三棱柱ABC-A′B′C′中，侧面CBB′C′⊥底面ABC，∠ACB=90°，由面面垂直的性质可得AC⊥平面CBB′C′，进而得到AC⊥BC′，又由CB=C′C′，我们可以得到四边形BCC′B′为菱形，进而得到BC′⊥B′C，然后根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理得到平面AB′C⊥平面A′C′B；
（2）延长CA到D，使CA=AD，连A'D，BD．根据棱柱的结构特征，结合异面直线夹角的定义，易得到∠DA′B为异面直线A'B与AC'所成的角，解三角形∠DA′B，即可得到异面直线A′B与AC′所成的角．

解答：解：（1）∵平面CBB'C'⊥平面ABC，AC⊥BC，
AC⊥平面CBB′C′，
∴AC⊥BC′．（2分）
∵在平行四边形BCC′B′中，CB=C′C′，∴平行四边形BCC′B′为菱形．
∴BC′⊥B′C
∴BC′⊥平面AB'C．                 （4分）
又BC'?平面A′C′B
∴平面AB'C⊥平面A'C'B．（6分）
（2）延长CA到D，使CA=AD，连A'D，BD．
∵AC∥A′C′，AC=A′C′，∴AD∥A′C′，AD=A′C′．
∴ADA′C′为平行四边形．
∴A′D∥AC′，A′D=AC′，
∴∠DA′B为异面直线A'B与AC'所成的角．                              （9分）
设BC=a，∴∠BCD=90°BC=aCD=2a，
∴BD=

BC2+CD2

=

5

a
∴AC⊥平在菱形BCC'B'，∠CBB'=60°，BC=a，

又∵A′D=A′C=

2

a从而在三角形AB′D中，cosDA′B=

A′D2+A′B2-BD2

2A′D×A′B

=

2

8

．
∴∠DA′B=arccos

2

8

                                                （11分）
∴异面直线A'B与AC'所成的角的大小为arccos

2

8

．                    （12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，及异面直线所成的角，其中（1）中熟练掌握空间线面、线线、面面垂直之间的转化是关键，（2）中找出与异面直线A′B与AC′所成的角相等的平面角是关键．