Question

【题目】已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）．
（1）当m=﹣1时，求不等式f（x）≤2的解集；
（2）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[1，2]A，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=﹣1时，函数f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2，即|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，

故有 ①，或 ②，或 ③．

解①求得0≤x＜ ，解②求得 ≤x≤1，解③求得1＜x≤ ．

综上可得，不等式f（x）≤2的解集为{x|0≤x≤ }

（2）解：由题意可得，当x∈[1，2]时，关于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，

即|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|恒成立，即|x+m|≤（2x+1）﹣（2x﹣1）=2 恒成立，

∴﹣2≤x+m≤2 恒成立，即﹣x﹣2≤m≤2﹣m 恒成立，∴﹣3≤m≤0，

即实数m的取值范围为[﹣3，0]

【解析】（1）当m=﹣1时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，当x∈[1，2]时，关于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即﹣2≤x+m≤2 恒成立，即﹣x﹣2≤m≤2﹣m 恒成立，由此可得实数m的取值范围．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．