Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求异面直线BC与PD所成的角．

Answer 1

解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面PAC
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∴∠PDA为异面直线BC与AD所成的角
由已知可知，△PDA为直角三角形，且PA=AB，
∵PA=AD，
∴∠PDA=45°，
∴异面直线BC与AD所成的角为45°．
分析：（1）由他有得PA⊥BD且BD⊥AC∵PA，AC是平面PAC内的两条相交直线∴BD⊥平面PAC
（2）BC∥AD，所以∠PDA为异面直线BC与AD所成的角．解三角形△PDA得∠PDA=45所以异面直线BC与AD所成的
角为45°．
点评：本题考查线面垂直的条件直线垂直于平面内的两条相交直线，解决异面直线的夹角关键是平移线段使其相交且存在于同一个三角形中．