Question

如图梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，过点C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，现将梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．
（1）求直线BD与平面ABCE所成角的正切值；
（2）设线段AB的中点为P，在直线DE上是否存在一点M，使得PM∥面BCD？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

Answer 1

分析：（1）连接BE，因为梯形ABCD，∠A=90°，CE∥AB，所以DE⊥EC，由面DEC⊥面ABCE且交于EC，DE⊥面ABCE，知∠DBE为直线BD与平面ABCE所成角，由此能求出结果．
（2）当M为线段DE的中点时，PM∥平面BCD取CD的中点N，连接BN，MN，则MN∥=

1

2

AB∥=PB，由此能够求出点M，使得PM∥面BCD．

解答：（1）解：连接BE，因为梯形ABCD，∠A=90°，CE∥AB，
所以DE⊥EC，
又∵面DEC⊥面ABCE且交于EC，DE⊥面ABCE，
所以∠DBE为所求．
设BC=1，有AB=1 AD=2，所以DE=1 EB=

2

，
所以tan∠DBE=

DE

BE

=

2

2

．…（6分）
（2）解：存在点M，当M为线段DE的中点时，PM∥平面BCD，
取CD的中点N，连接BN，MN，则MN∥=

1

2

AB∥=PB
所以PMNB为平行四边形，所以PM∥BN
因为BN在平面BCD内，PM不在平面BCD内，
所以PM∥平面BCD．…（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．