设函数定义在上,对于任意实数,恒有
,且当时,
(1)求证: 且当时,
(2)求证: 在上是减函数;
(3)设集合,,且,
求实数的取值范围。
(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】(Ⅰ)在证明f(0)=1及x<0,f(x)>1时,要注意利用f(m+n)=f(m)f(n),根据题目的要求,灵活赋值求证。(II)要注意利用定义。(3)根据前两问的结论,可知,抛物线与直线y=a没有交点求实数a的范围。进而转化为求二次函数的最值问题。
(1)证明:,为任意实数,
取,则有
当时,,,……1分
当时, ,则
取 则
则 ……4分
(2)证明:由(1)及题设可知,在上
,
…………6分
所以在上是减函数…………9分
(3)解:在集合中
由已知条件,有
,即………11分
在集合中,有
,则抛物线与直线无交点
,,
即的取值范围是…………14分
科目:高中数学 来源:2011-2012学年吉林省长春市高三第一次调研测试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
设是定义在上的增函数,且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组,那么的取值范围是
A.(3, 7) B.(9, 25) C.(13, 49) D. (9, 49)
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科目:高中数学 来源:辽宁省10-11学年高二下学期期末考试数学(理) 题型:解答题
(本小题满分12分)(1)对于定义在上的函数,满足,求证:函数在上是减函数;
(2)请你认真研读(1)中命题并联系以下命题:若是定义在上的可导函数,满足,则是上的减函数。然后填空建立一个普遍化的命题:
设是定义在上的可导函数,,若 +,
则 是上的减函数。
注:命题的普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合;或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大集合。
(3)证明(2)中建立的普遍化命题。
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