Question

8．设命题p：{x|x²-4ax+3a²＜0}（a＞0），命题q：{x|1＜x-1≤2}
（1）如果a=1，且p∧q为真时，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，P：{x|1＜x＜3}，而q：{x|2＜x≤3}，由此利用p∧q为真，能求出实数x的取值范围．
（2）若?p是?q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件，由此能求出实数a的取值范围．

解答 （本题满分12分）
解：（1）当a＞0时，{x|x2-4ax+3a2＜0}
={x|（x-3a）（x-a）＜0}={x|a＜x＜3a}，
如果a=1时，命题p：{x|x²-4x+3＜0}，即：P：{x|1＜x＜3}，而q：{x|2＜x≤3}，
因为p∧q为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．
故实数x的取值范围是{x|2＜x≤3}．
（2）若?p是?q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件．
由（1）知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，
由题意得a≤2且3＜3a，解得{a|1＜a≤2}．
故实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件及复合命题真假判断的合理运用．