Question

10．已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-$\frac{4}{9}$sin2x-1，若f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-$\frac{13}{9}$．
（1）求a的值，并写出函数f（x）的最小正周期（不需证明）；
（2）是否存在正整数k，使得函数f（x）在区间[0，kπ]内恰有2017个零点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-$\frac{13}{9}$带入即可求解a的值．因为|sinx|、|cosx|、sin2x的周期是都π，故得函数f（x）的最小正周期．
（2）令k=1，讨论[0，π]内存在的零点情况，从而讨论是否存在k内恰有2017个零点即可．

解答 解：（1）函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-$\frac{4}{9}$sin2x-1，
∵f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-$\frac{13}{9}$．
∴a（sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$）-$\frac{4}{9}$sin$\frac{π}{2}$-1=$\sqrt{2}$-$\frac{13}{9}$．
解得：a=1，
函数f（x）的最小正周期T=π，
（2）存在n=504，满足题意：
理由如下：
当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，$f（x）=（sinx+cosx）-\frac{4}{9}sin2x-1$，
设t=sinx+cosx，则 $t∈[{1，\sqrt{2}}]$，sin2x=t²-1，
则$g（t）=\frac{-4}{9}{t^2}+t-\frac{5}{9}$，$\frac{-4}{9}{t^2}+t-\frac{5}{9}=0$可得 t=1或$t=\frac{5}{4}$，
由t=sinx+cosx图象可知，x在$[{0，\frac{π}{2}}]$上有4个零点满足题意．
当$x∈（\frac{π}{2}，π）$时，$f（x）=（sinx-cosx）-\frac{4}{9}sin2x-1$，t=sinx-cosx，
则 $t∈（{1，\sqrt{2}}]$，sin2x=1-t²，
$h（t）=\frac{4}{9}{t^2}+t-\frac{13}{9}$，$\frac{4}{9}{t^2}+t-\frac{13}{9}=0$，t=1或$t=-\frac{13}{4}$，
∵$t∈（{1，\sqrt{2}}]$，
∴x在$（{\frac{π}{2}，π}）$上不存在零点．
 综上讨论知：函数f（x）在[0，π）上有4个零点，而2017=4×504+1，
因此函数在[0，504π]有2017个零点，所以存在正整数k=504满足题意．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的综合运用．属于中档题．