分析 由题意可得,存在x<0使f(-x)-g(x)=0,即ex-$\frac{1}{2}$-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解,从而化为函数m(x)=ex-$\frac{1}{2}$-ln(-x+a)在(-∞,0)上有零点,从而求解.
解答 解:若函数f(x)=x2+ln(x+a)(a>0)与g(x)=x2+ex-$\frac{1}{2}$(x<0)图象上存在关于y轴对称的点,
则等价为g(x)=f(-x),在x<0时,方程有解,
即x2+ex-$\frac{1}{2}$=x2+ln(-x+a),即ex-$\frac{1}{2}$-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解,
令m(x)=ex-$\frac{1}{2}$-ln(-x+a),
则m(x)=ex-$\frac{1}{2}$-ln(-x+a)在其定义域上是增函数,且x→-∞时,m(x)<0,
∵a>0∴ex-$\frac{1}{2}$-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解可化为:e0-$\frac{1}{2}$-lna>0,
即lna<$\frac{1}{2}$,故0<a<$\sqrt{e}$.
令h(x)=x2+2alnx-2ax,
${h^'}(x)=2x+\frac{2a}{x}-2a=\frac{2}{x}({x^2}-ax+a)$,
∵a2-4a<0,∴h′(x)>0,h(x)单调递增,
x→0时,h(x)→-∞,x→+∞时,h(x)→+∞,
∴h(x)=0有一个解,
故答案为:1.
点评 本题考查函数与方程的应用,根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系,进行转化是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.
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X | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 2.5 | 3 | m | 4.5 |
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x | 2 | 3 | 5 | 6 |
y | 3 | 5 | 7 | 9 |
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