Question

已知：函数f（x）=a•lnx+bx²+x在点（f，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设函数y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

的反函数为p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函数t（x）的最大值；
（3）在（2）中，问是否存在正整数N，使得当n∈N₊且n＞N时，不等式p(-1)+p(-

1

2

)+p(-

1

3

) +p(-

1

n

) ＜n-2011恒成立？若存在，请找出一个满足条件的N的值，并给以说明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx²+x得b=-1，再利用切线的几何意义求得a值，最后写出函数的解析式即可；
（2）由（1）得函数y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

=lnx，它的反函数为p（x）=e^x，求其导数，利用导数大于0原函数是增函数，导数小于0原函数是减函数，进而求出函数t（x）的最大值．
（3）由（2）得p（x）（1-x）≤1，从而有当x＜1时，有p（x）≤

1

1-x

，将原不等式转化成不等式n-（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

）＜n-2010，利用调和级数的和，从而得到取N=[e^2010+C]，当n＞N时，不等式p(-1)+p(-

1

2

)+p(-

1

3

) +p(-

1

n

) ＜n-2011恒成立．

解答：解：（1）当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx²+x得b=-1，
f′（x）=

a

x

-2x+1，由切线方程知f′（1）=1，∴a=2，
故f（x）=2lnx-x²+x．
（2）由（1）得函数y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

=lnx，它的反函数为p（x）=e^x，
∴t（x）=e^x•（1-x），
∴t′（x）=-e^x•x，
当t′（x）=0时，x=0，当t′（x）＞0时，x＞0，当t′（x）＜0时，x＜0．
∴t（x）=e^x•（1-x）在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数，
∴当x=0时，函数t（x）的最大值为1．
（3）由（2）得p（x）（1-x）≤1，
∴当x＜1时，有p（x）≤

1

1-x

不等式p(-1)+p(-

1

2

)+p(-

1

3

) +…+p(-

1

n

) ＜

1

2

+

1

1+ 1 2

+

1

1+ 1 3

+…+

1

1+ 1 n

=

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

=（1-

1

2

）+（1-

1

3

）+（1-

1

4

）+…（1-

1

n+1

）
=n-（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

）≈n-ln（n+1）+C（C=0.57722…一个无理数，称作欧拉初始）
当n-ln（n+1）+C＜n-2010时，原不等式恒成立，
故只须ln（n+1）＞2010+C，即n+1＞e^2010+C，也即n＞e^2010+C-1，
故取N=[e^2010+C]，当n＞N时，不等式p(-1)+p(-

1

2

)+p(-

1

3

) +p(-

1

n

) ＜n-2011恒成立．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、反函数、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．