Question

【题目】设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为1的直角三角形．

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；

(2)点M为该椭圆上任意一点，求|MA|的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 离心率e＝ (2) 的取值范围为[0， ].

【解析】试题分析：（1）由△AB1B2是面积为1的等腰直角三角形知|OA|=|OB1|=1，从而求a，b，c即可；（2）求点点距离，设出点坐标M的坐标为(x0，y0)，再二元化一元即可；

(1)设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0) (a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．

因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝ ，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，

所以离心率e＝ .

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝ ·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.

由题设条件S△AB1B2＝2得b2＝1，从而a2＝5b2＝5，

因此所求椭圆的标准方程为.

（2）A (0,1)．

设点M的坐标为()，因为点M为椭圆上任意一点，代入椭圆 ＝5－5 .所以

因为－1≤y0≤1，所以

所以的取值范围为[0， ]．