分析 作出函数f(x)的图象,由a<b<1且f(a)=f(b),可求得(a-1)2+(b-1)2=8,a<-1,0<b<1,利用直线和圆的位置关系,结合线性规划的知识进行求解即可.
解答 解:作出f(x)的图象如图,由图可知,f(x)的对称轴为:x=1.
∵a<b<1且f(a)=f(b)
∴a<-1,-1<b<1,
则|a2-2a-3|=|b2-2b-3|,
即a2-2a-3=-(b2-2b-3),
则(a-1)2+(b-1)2=8,a<-1,-1<b<1,
则(a,b)的轨迹是圆上的一个部分,(黑色部分),
由u=2a+b得b=-2a+u,
平移b=-2a+u,当直线b=-2a+u和圆在第三象限相切时,截距最小,此时u最小,
此时圆心(1,1)到直线2a+b-u=0的距离d=$\frac{|2+1-u|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|u-3|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{2}$,
即|u-3|=2$\sqrt{10}$,
得u=3-2$\sqrt{10}$或u=3+2$\sqrt{10}$(舍),
故答案为:3-2$\sqrt{10}$
点评 本题考查带绝对值的函数,作出函数f(x)结合已知求得(a-1)2+(b-1)2=8,a<-1,0<b<1,利用线性规划以及直线和圆相切的位置关系是解决本题的关键.渗透化归思想与数形结合思想,综合性较强,有一定的难度.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3 | B. | 12 | C. | -3 | D. | -12 |
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A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -2 | D. | 2 |
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