Question

8．抛物线x²=6y的焦点为F，点M为抛物线上第一象限内的动点，点N为其准线上的动点，当△FMN为等边三角形时，则△FNM的外接圆的方程为（x-2$\sqrt{3}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=12．

Answer 1

分析 利用抛物线的定义得出MN垂直于抛物线的准线，设N（n，-$\frac{3}{2}$），则M（n，$\frac{9}{2}$），代入抛物线方程求出N，M的坐标，得到外心的坐标，△FMN的外接圆的半径，从而求出其方程．

解答 解：据题意知，△FMN为等边三角形，MF=MN，
由抛物线的定义可得，NM垂直于抛物线的准线，
又抛物线x²=6y的焦点为F（0，$\frac{3}{2}$），准线为y=-$\frac{3}{2}$，
设N（n，-$\frac{3}{2}$），则M（n，$\frac{9}{2}$），由n²=27，解得n=3$\sqrt{3}$，
则N（3$\sqrt{3}$，-$\frac{3}{2}$），M（3$\sqrt{3}$，$\frac{9}{2}$），又F（0，$\frac{3}{2}$），
由等边三角形的外心即为重心，
则外心的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{3}+0}{3}$，$\frac{-\frac{3}{2}+\frac{9}{2}+\frac{3}{2}}{3}$），
即为（2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$）．
则△FMN的外接圆的半径为2$\sqrt{3}$，
∴则△FMN的外接圆的方程为（x-2$\sqrt{3}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=12．
故答案为：（x-2$\sqrt{3}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=12．

点评 本题主要考查了抛物线的定义、方程和简单性质，圆的方程的求法，三角形的外心的概念，考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．