精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
5.已知函数f(x)=1313x3-x2+ax-a,若f(x)只有一个零点,求a的取值范围.

分析 题意可转化为函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有一个交点,求导g′(x)=x2-2x=x(x-2),从而确定g(x)的大致形状,从而作函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象,从而结合图象讨论确定交点的个数,从而解得.

解答 解:∵f(x)=13x3-x2+ax-a只有一个零点,
∴函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有一个交点,
∵g′(x)=x2-2x=x(x-2),
故g(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,
且g(0)=0,g(2)=83-4=-43
作函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象如下,

结合图象知,当-a<0,即a>0时,
函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有一个交点,
当-a=0,即a=0时,
函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有两个交点,
当-a>0,即a<0时,
函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有三个交点,
故a的取值范围为(0,+∞).

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用,同时考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.已知函数f(x)=ex1ex+1
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并探究是否存在实数t,使不等式f(x)+f(x2-t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立?若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

16.双曲线x23-y24=1的渐近线方程是y=±233x.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的图象的相邻两对称中心的距离为π2,且过点(π8,-1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)五点作图法画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;
(3)求方程f(x)-2=m在x∈[π42π3]上有解,求m的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

20.用向量证明:若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影,则这两条直线垂直.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

10.已知函数fx=4x2,则f(x)的定义域为[-2,2];当x=±2时,f(x)取最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.直线x+1=0的倾斜角是(  )
A.B.90°C.45°D.不存在

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.设F1,F2是双曲线x29-y216=1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.现在阳台种菜成为部分人的爱好,如图所示,一块种菜的小菜地一面靠墙(墙长度为1.2米),另外三面由总长为2米的栅栏围成,设宽为x米.面积为y平方米.
(1)求菜地的另一边的长(用x表示);
(2)求y与x之间的函数关系,并写出自变量x的取值范围;
(3)当x为何值时,菜地的面积最大?并求出最大值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案