分析 题意可转化为函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有一个交点,求导g′(x)=x2-2x=x(x-2),从而确定g(x)的大致形状,从而作函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象,从而结合图象讨论确定交点的个数,从而解得.
解答 解:∵f(x)=13x3-x2+ax-a只有一个零点,
∴函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有一个交点,
∵g′(x)=x2-2x=x(x-2),
故g(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,
且g(0)=0,g(2)=83-4=-43;
作函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象如下,
,
结合图象知,当-a<0,即a>0时,
函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有一个交点,
当-a=0,即a=0时,
函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有两个交点,
当-a>0,即a<0时,
函数g(x)=13x3-x2与函数h(x)=-a(x-1)的图象有且只有三个交点,
故a的取值范围为(0,+∞).
点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用,同时考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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