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1.如图,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.

(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)求棱锥E-DFC的体积;
(3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?如果存在,求出$\frac{BP}{BC}$的值;如果不存在,请说明理由.

分析 (1)由三角形中位线定理得EF∥AB,从而得到AB∥平面DE.
(2)由AD⊥CD,BD⊥CD,AD⊥BD,得AD⊥平面BCD. 行求出三角形CDB的面积,再求出点E到平面CDF的距离,由此能求出棱锥E-DFC的体积.
(3)以点D为坐标原点,直线DB,DC,DA分别为经,x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出在线段BC上存在点P,使AP⊥DE,且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$.

解答 解:(1)直线AB∥平面DEF,理由如下
如图,在△ABC中,由E,F分别是AC和BC边的中点,得EF∥AB,
又AB?平面DEF,EF?平面DEF.
∴AB∥平面DE. 
(2)∵正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,
现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
∴AD⊥CD,BD⊥CD,∴AD⊥BD,得AD⊥平面BCD. 
∵BD=AD=2,CD=2$\sqrt{3}$,∴S△CDF=$\frac{1}{2}{S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$,
点E到平面CDF的距离h=$\frac{1}{2}$AD=1,
∴棱锥E-DFC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDF}$×h=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(3)以点D为坐标原点,直线DB,DC,DA分别为经,x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2$\sqrt{3}$,0),E(0,$\sqrt{3}$,1),F(1,$\sqrt{3}$,0),D(0,0,0),
设P(x,y,0),$\overrightarrow{AP}$=(x,y,-2),$\overrightarrow{DE}$=(0,$\sqrt{3}$,1),
由AP⊥DE,得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$=$\sqrt{3}$y-2=0,得y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
又$\overrightarrow{BP}$=(x-2,y,0),$\overrightarrow{BC}$=(-2,2$\sqrt{3}$,0),
∵$\overrightarrow{BP}$∥$\overrightarrow{BC}$,∴$\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}$,
将y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入上式,得x=$\frac{4}{3}$,∴$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$,
∴在线段BC上存在点P,使AP⊥DE,且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$.

点评 本题考查线面关系的判断,考查棱锥体积的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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