Question

6．已知角α的终边过点P（-3，4）．
（Ⅰ）求$\frac{tanα}{sin（π-α）-cos（\frac{π}{2}+α）}$的值；
（Ⅱ）若β为第三象限角，且tan$β=\frac{3}{4}$，求cos（2α-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先分别求出sinα，cosα，tanα，然后利用诱导公式化简式子，代入数值计算；
（Ⅱ）由已知β为第三象限角，且tan$β=\frac{3}{4}$，求出β的正弦和余弦值，求出2α的正弦和余弦值，利用两角差的余弦公式解答．

解答 解：（Ⅰ）因为角α的终边过点P（-3，4），所以sin$α=\frac{4}{5}$，cos$α=-\frac{3}{5}$，tan$α=-\frac{4}{3}$--------（3分）
所以$\frac{tanα}{sin（π-α）-cos（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{tanα}{2sinα}$=$\frac{-\frac{4}{3}}{2×\frac{4}{5}}=-\frac{5}{6}$------------（6分）
（Ⅱ）因为 β为第三象限角，且tan$β=\frac{3}{4}$，所以sin$β=-\frac{3}{5}$，cos$β=-\frac{4}{5}$．------（8分）
由（Ⅰ）知，sin2α=2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，cos2α=2cos²α-1=$-\frac{7}{25}$-------（10分）
所以cos（2α-β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ=$-\frac{7}{25}×（-\frac{4}{5}）-\frac{24}{25}×（-\frac{3}{5}）$=$\frac{4}{5}$----------（12分）

点评 本题考查了三角函数的坐标法定义以及三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数余弦公式的运用；熟记公式，正确运用是关键．