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(本小题满分12分)如图所示多面体中,⊥平面为平行四边形,分别为的中点,.

(1)求证:∥平面

(2)若∠=90°,求证;

(3)若∠=120°,求该多面体的体积.

 

【答案】

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)该五面体的体积为 。

【解析】(Ⅰ)取PC的中点为O,连FO,DO,可证FO∥ED,且FO=ED,所以四边形EFOD是平行四边形,从而可得EF∥DO,利用线面平行的判定,可得EF∥平面PDC;

(Ⅱ)先证明PD⊥平面ABCD,再证明BE⊥DP;

(Ⅲ)连接AC,由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等,所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等,即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍.

(Ⅰ)取PC的中点为O,连FO,DO,∵F,O分别为BP,PC的中点,

∥BC,且,又ABCD为平行四边形,∥BC,且,

∥ED,且

∴四边形EFOD是平行四边形          --------------------------------2分

即EF∥DO   又EF平面PDC   ∴EF∥平面PDC.     ---------------------- 4分

(Ⅱ)若∠CDP=90°,则PD⊥DC,又AD⊥平面PDC  ∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD,           ------------- 6分

  ∵BE平面ABCD,∴BE⊥DP              ------------ 8分

(Ⅲ)连结AC,由ABCD为平行四边形可知面积相等,

所以三棱锥与三棱锥体积相等,

即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.

∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP,由AD=3,AP=5,可得DP=4又∠CDP=120°PC=2

由余弦定理并整理得,  解得DC=2   ------------------- 10分

三棱锥的体积

∴该五面体的体积为                         -------------------- 12分

 

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3
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ON
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5
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OT
=
M1M
+
N1N
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(H)已知直线L与双曲线C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q两点(其中点P在第-象限).线段OP交轨迹C于A,若
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=3
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