A. | ②③ | B. | ①③ | C. | ①④ | D. | ②④ |
分析 根据条件得到若函数在区间[a,b]上具有“反衬性”,则等价为在区间[a,b]上,函数f(x)与y=$\frac{1}{x}$有两个交点,且函数在区间上单调递减即可,作出对应的图象,利用数形结合进行判断即可.
解答 解:若函数f(x)在定义域上存在区间[a,b](ab>0),使f(x)在[a,b]上值域为[$\frac{1}{b}$,$\frac{1}{a}$],则等价为函数f(x)与y=$\frac{1}{x}$有两个交点,且函数在区间上单调递减即可.
①若f(x)=-x+$\frac{5}{2}$,作出函数f(x)与y=$\frac{1}{x}$的图象,由图象知两个函数有两个交点,则f(x)具有“反衬性”,
②若f(x)=-x2+4x,作出函数f(x)与y=$\frac{1}{x}$的图象,由图象知两个函数有两个交点,但函数在交点对应的区间上不具单调性,则f(x)不具有“反衬性”,
③f(x)=sin$\frac{π}{2}$x,作出函数f(x)与y=$\frac{1}{x}$的图象,由图象知两个函数有两个交点,函数在交点对应的区间上单调递减,则f(x)具有“反衬性”,
④f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-|x-1|+1,x≤2}\\{\frac{1}{2}f(x-1).x>2}\end{array}\right.$,
当2<x<3时,f(x)=$\frac{1}{2}$f(x-1)=$\frac{1}{2}$[-|x-2|+1]=-$\frac{1}{2}$|x-2|+$\frac{1}{2}$,
当3<x<4时,f(x)=$\frac{1}{2}$f(x-1)=$\frac{1}{2}$[-$\frac{1}{2}$|x-3|+$\frac{1}{2}$]=-$\frac{1}{4}$|x-2|+$\frac{1}{4}$,
作出函数f(x)与y=$\frac{1}{x}$的图象,由图象知两个函数有两个交点,函数在交点对应的区间上不单调递减,则f(x)不具有“反衬性”,
综上具有“反衬性”的函数是①③,
故选:B
点评 本题主要考查与函数有关的新定义题目,正确理解条件结合数形结合,转化为函数f(x)与y=$\frac{1}{x}$有两个交点,且函数在区间上单调递减是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,$\frac{2}{3}$) | B. | ($\frac{2}{3}$,+∞) | C. | (0,$\frac{1}{3}$)∪($\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$) | D. | ($\frac{1}{3}$,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) | B. | (-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,+∞) | C. | (-∞,0)∪(1,+∞) | D. | (-∞,-1)∪(2,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | -$\frac{1}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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